Definizione di Funzione

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Una funzione è una legge tra due insiemi. Per legge s’intende una regola che associa ad ogni elemento del primo insieme uno ed un solo elemento del secondo insieme. Indichiamo con $ X $ e $ Y $ tali insiemi.

Nella definizione di funzione gli insiemi $ X $ e $ Y $ prendono il nome di dominio e codominio, rispettivamente.

Definizione. Una funzione $ f : X \rightarrow Y $ è una legge che associa ad ogni elemento $ x $ del dominio $ X $ uno ed un solo elemento $ y $ del codominio $ Y $.

• Funzione Costante

La funzione che per ogni elemento $ x \in X $ associa l’elemento $ a \in X $ è una funzione detta funzione costante. Formalmente:

\begin{matrix}
f & : & X & \rightarrow & X \\
&   & x & \mapsto & f ( x ) \doteq a
\end{matrix}

• Funzione Identica

Sia $ X = Y $, l’applicazione

\begin{matrix}
\mathbb{ 1 } _ X & : & X & \rightarrow & X \\
&   & x & \mapsto & \mathbb{ 1 } _ X ( x ) \doteq x
\end{matrix}

che ad ogni elemento $ x \in X $ fa corrispondere se stesso, si chiama applicazione identica.

• Restrizione di una Funzione

Siano $ X $ e $ Y $ due insiemi tali che $ X \subset Y $. La funzione che ad ogni elemento $ x \in X $, considerato come elemento di $ Y $ si chiama restrizione di $ f $ ad $ X $.

Funzione Iniettiva

Una funzione $ f : X \rightarrow Y $ è iniettiva se

$$
\forall x , y \in X \quad , \quad x \neq y \implies f ( x ) \neq f ( y )
$$

A parole: una funzione è iniettiva se per ogni coppia di elementi del dominio $ x \neq y $, le rispettive immagini sono diverse.

Funzione Suriettiva

Consideriamo una funzione $ f $ e sia $ Y $ il codominio. Non è sempre vero che per ogni elemento $ y \in Y $ vi sia un elemento $ x \in X $ del dominio tale che $ f ( x ) = y $. Se questo accade, allora la funzione $ f : X \rightarrow Y $ è detta funzione suriettiva.

Definizione. Una funzione $ f $ è suriettiva se per ogni $ f ( x ) \in Y $ esiste $ x \in X $ tale che la sua immagine sia $ f ( x ) $.

$$
\forall y \in Y \quad \exists x \in X \quad : \quad f ( x ) = y
$$

Attenzione: il simbolo $ \exists $ significa che esiste almeno un elemento. Dunque non è escluso che vi siano due elementi $ x _ 1 \neq x _ 2 $ in $ X $ che abbiano la stessa immagine tramite $ f $.

Funzione Biiettiva

Una funzione è bigettiva (o biiettiva) se è sia iniettiva che suriettiva.