Derivata di una Funzione

Home / Analisi Matematica / Derivata di una Funzione


La derivata di una funzione reale esprime la variazione del valore della funzione $ f ( x ) $ al variare del suo argomento $ x $. È un concetto che sta alla base del calcolo infinitesimale e di tutte le scienze applicate. Per esempio, la derivata della posizione di un punto materiale rispetto al tempo prende il nome di velocità. La velocità misura la variazione della posizione al variare del tempo.

Formalmente, la derivata di una funzione $ f ( x ) $ è il limite per $ x \to x _ 0 $ (per $ x $ che tende a $ x _ 0 $) del rapporto:

$$
\frac{ f ( x ) – f ( x _ 0 ) }{ x – x _ 0 }
$$

detto rapporto incrementale. Tale rapporto fornisce il coefficiente angolare della retta che passa per i punti $ ( x , f ( x ) ) $ e $ ( x _ 0 , f ( x _ 0 ) ) $, i quali appartengono ad un grafico cartesiano. Tanto più $ x $ tende a $ x _ 0 $ e tanto più la secante assomiglia alla tangente nel punto $ x _ 0 $.

Definizione. Sia $ f : [ a , b ] \rightarrow \mathbb{ R } $ e sia $ x _ 0 \in [ a , b ] $. La funzione $ f $ è derivabile nel punto $ x _ 0 $ se esiste (finito) il limite

$$
\lim _ { x \to x _ 0 } \frac{ f ( x ) – f ( x _ 0 ) }{ x – x _ 0 } \doteq f’ ( x _ 0 )
$$

Dire che il limite è finito significa affermare che $ f’ ( x _ 0 ) < c < \infty $, dove $ c $ è un numero reale.

Esempio. Sia $ f ( x ) = \sin x $ la funzione che ad ogni $ x $ associa il seno di $ x $. Il suo rapporto incrementale è

$$
\frac{ \sin x – \sin x _ 0 }{ x – x _ 0 }
$$

Facendo il limite per $ x \to x _ 0 $ di tale rapporto, si ottiene il $ \cos x _ 0 $. Ciò significa che la retta tangente nel punto noto $ x _ 0 $ ha esattamente coefficiente angolare $ \cos x _ 0 $.

Notazione

Per denotare la derivata di una funzione in un punto $ x _ 0 $ si incontrano le seguenti notazioni:

$$
f’ ( x _ 0 ) \quad , \quad \left . \frac{ df ( x ) }{ dx } \right | _ { x = x _ 0 } \quad , \quad \left . D f ( x ) \right | _ { x = x _ 0 }
$$

La notazione

$$
\left . \frac{ df ( x ) }{ dx } \right | _ { x = x _ 0 }
$$

è dovuta a Leibniz, e mette in evidenza il rapporto tra due quantità infinitesime. Un’altra notazione, utilizzata sopratutto in meccanica razionale, è la seguente:

$$
\dot{ x } ( t )
$$

Quest’ultima esprime la derivata della posizione rispetto al tempo.

Derivata Seconda e Successive

La derivata seconda è la derivata della derivata prima, ovvero il limite del rapporto incrementale:

$$
\lim _ { x \to x _ 0 } \frac{ f’ ( x ) – f’ ( x _ 0 ) }{ x – x _ 0 } \doteq f” ( x _ 0 )
$$

Le notazioni per denotare la derivata seconda di una funzione sono le seguenti:

$$
f” ( x _ 0 ) \quad , \quad \left . \frac{ d ^ 2 f ( x ) }{ dx ^ 2 } \right | _ { x = x _ 0 } \quad , \quad \left . D ^ 2 f ( x ) \right | _ { x = x _ 0 }
$$

Per quanto riguarda le derivate successive la notazione cambia di poco. la derivata n-esima di una funzione $ f $ si denota come segue.

$$
f ^ { ( n ) } ( x _ 0 ) \quad , \quad \left . \frac{ d ^ n f ( x ) }{ dx ^ n } \right | _ { x = x _ 0 } \quad , \quad \left . D ^ n f ( x ) \right | _ { x = x _ 0 }
$$