Funzione Seno

Home / Analisi Matematica / Funzione Seno


La funzione seno è una funzione che ad ogni elemento del dominio associa un numero compreso tra $ – 1 $ e $ 1 $, ossia appartenente all’intervallo $ [ – 1 , 1 ] $. Formalmente:

\begin{matrix}
& f : & \mathbb{ R } & \to & [ – 1 , 1 ] \\
&  & x & \mapsto & f ( x ) \doteq \sin x
\end{matrix}

che associa ad ogni numero reale $ x $ il numero reale $ y = \sin x $, compreso tra $ – 1 $ e $ 1 $ come mostra il suo grafico cartesiano:

Il seno è una funzione dispari, che significa $ \sin ( – x ) = – \sin x $ per ogni $ x \in \mathbb{ R } $. La funzione si annulla per $ \theta = k \pi $ con $ k \in \mathbb{ Z } $. Per esempio

$$
\sin ( – \pi ) = 0 \quad , \quad \sin ( 0 ) = 0 \quad , \quad \sin ( \pi ) = 0
$$

e così via per ogni $ \theta = k \pi $, $ k \in \{ \pm 1 , \pm 2 , \ldots \} $.

Periodicità

Un’importante proprietà della funzione seno è quella di essere periodica, ovvero esiste un numero denotato con $ T $ tale che $ \sin ( \theta + T ) = \sin \theta $. Il periodo è il più piccolo numero che soddisfa $ \sin ( \theta + T ) = \sin \theta $. Nel caso della funzione seno, il più piccolo numero che soddisfa tale proprietà è $ T = 2 \pi $, ovvero $ 2 \pi k $, con $ k = 1 $.

Derivata e Primitiva

La derivata del seno è un’altra funzione cosiddetta circolare: la funzione coseno. Il rapporto incrementale

$$
\lim _ { x \to x _ 0 } \frac{ \sin x – \sin x _ 0 }{ x – x _ 0 }
$$

può essere riscritto come

$$
\lim _ { x \to x _ 0 } \frac{ 2 }{ x – x _ 0 } \sin \left ( \frac{ x – x _ 0 }{ 2 } \right ) \cos \left ( \frac{ x + x _ 0 }{ 2 } \right )
$$

quindi, osservando che il limite del prodotto è il prodotto dei limiti e ricordando il limite notevole

$$
\lim _ { z \to 0 } \frac{ \sin z }{ z } = 1
$$

si trova

$$
\lim _ { x \to x _ 0 } \frac{ \sin \left ( \dfrac{ x – x _ 0 }{ 2 } \right ) }{ \dfrac{ x – x _ 0 }{ 2 } } \cdot \lim _ { x \to x _ 0 } \cos \left ( \frac{ x + x _ 0 }{ 2 } \right ) = \cos x _ 0
$$

La funzione $ F ( x ) $ tale che $ F’ ( x ) = f ( x ) = \sin x $ è

$$
F ( x ) = \int \sin x \, dx = – \cos x + c
$$

Continuità

Per ogni punto del dominio $ x \in \mathbb{ R } $ il limite per $ x \to x _ 0 $ è $ \sin x _ 0 $. Dunque, se $ x _ 0 \in \mathbb{ R } $ la funzione seno è continua su tutto il suo dominio.