Integrale dell’Arcoseno e dell’Arcocoseno

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Vediamo come calcolare l’integrale dell’arcoseno, ovvero l’integrale della funzione che a $ x $ associa $ \arcsin x $. Prima di fare il calcolo osserviamo che $ \arcsin x = 1 \cdot \arcsin x $. Quindi, posto $ f ( x ) = 1 $ e $ G ( x ) = \arcsin x $, abbiamo

$$
F ( x ) = x \quad , \quad g ( x ) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1 – x ^ 2 } }
$$

Pertanto:

\begin{align*}
\int f ( x ) G ( x ) dx
& = F ( x ) G ( x ) – \int F ( x ) g ( x ) \, dx \\
\int \arcsin x \, dx
& = \int 1 \cdot \arcsin x \, dx \\
& = x \arcsin x – \int \frac{ x }{ \sqrt{ 1 – x ^ 2 } } \, dx \\
& = x \arcsin x – \frac{ 1 }{ 2 } \int \frac{ 2 x }{ \sqrt{ 1 – x ^ 2 } } \, dx \\
& = x \arcsin x + \sqrt{ 1 – x ^ 2 } + c
\end{align*}

Stesso procedimento per l’integrale dell’arcocoseno. Osservando che $ \arccos x = 1 \cdot \arccos x$, posto  $ f ( x ) = 1 $ e $ G ( x ) = \arccos x $, abbiamo

$$
F ( x ) = x \quad , \quad g ( x ) = – \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1 – x ^ 2 } }
$$

Quindi

\begin{align*}
\int f ( x ) G ( x ) dx
& = F ( x ) G ( x ) + \int F ( x ) g ( x ) \, dx \\
\int \arcsin x \, dx
& = \int 1 \cdot \arccos x \, dx \\
& = x \arccos x – \int \frac{ – x }{ \sqrt{ 1 – x ^ 2 } } \, dx \\
& = x \arccos x – \frac{ 1 }{ 2 } \int \frac{ – 2 x }{ \sqrt{ 1 – x ^ 2 } } \, dx \\
& = x \arccos x – \sqrt{ 1 – x ^ 2 } + c
\end{align*}

Conclusione

L’integrale dell’arcoseno è

$$
\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x + \sqrt{ 1 – x ^ 2 } + c \quad , \quad c \in \mathbb{ R }
$$

L’integrale dell’arcocoseno è

$$
\int \arcsin x \, dx = x \arccos x – \sqrt{ 1 – x ^ 2 } + c \quad , \quad c \in \mathbb{ R }
$$