Integrale di X al Quadrato per il Seno di X

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In questo esercizio vedremo come calcolare il seguente integrale:

$$
H ( x ) = \int x ^ 2 \sin x \, dx
$$

ossia, l’integrale della funzione che ad ogni $ x \in \mathbb{ R } $ associa la funzione $ h ( x ) = x ^ 2 \sin x $.

Prima di calcolare l’integrale di $ x $ al quadrato per il seno di $ x $, ricordiamo che se $ f ( x ) $ e $ g ( x ) $ sono due funzioni reali, l’integrale

$$
\int f ( x ) g ( x ) \, dx
$$

può essere calcolato mediante la formula di integrazione per parti. Applicando tale regola, otteniamo:

\begin{align}
\int f ( x ) g ( x ) \, dx & = f ( x ) G ( x ) – \int f’ ( x ) G ( x ) \, dx \nonumber \\
\int x ^ 2 \sin x \, dx & = x ^ 2 ( – \cos x ) + 2 \int x \cos x \, dx \nonumber \\
& = – x ^ 2 \cos x + 2 \operatorname{ I } \label{2017-08-02-22-20}
\end{align}

Integriamo $ \operatorname{ I } $ per parti:

\begin{align*}
\text{ I } = \int x \cos x \, dx
& = x \sin x – \int \sin x \, dx \\
& = x \sin x + \cos x
\end{align*}

Infine, sostituendo $ \operatorname{ I } $ nella $ ( \ref{2017-08-02-22-20} ) $, otteniamo

\begin{align*}
\int x ^ 2 \sin x \, dx
& = – x ^ 2 \cos x + 2 \int x \cos x \, dx \\
& = – x ^ 2 \cos x + 2 x \sin x + 2 \cos x + c
\end{align*}

Ora verifichiamo se la funzione $ H ( x ) $ soddisfa $ H’ ( x ) = h ( x ) = x ^ 2 \sin x $. Per la regola di derivazione del prodotto di due funzioni, abbiamo:

\begin{align*}
[ f ( x ) g ( x ) ]’ = f’ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g’ ( x )
\end{align*}

Inoltre ricordiamo che la derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate, quindi:

$$
[ – x ^ 2 \cos x + 2 x \sin x + 2 \cos x + c ]’ = [ – x ^ 2 \cos x ]’ + 2 [ x \sin x ]’ + 2 [ \cos x ]’ + [ c ]’
$$

Per motivi di spazio, calcoliamo le singole derivate e sommiamo i risultati. La prima derivata è

\begin{align*}
[ – x ^ 2 \cos x ]’ & = – [ x ^ 2 \cos x ]’ \\
& = – [ 2 x \cos x + x ^ 2 ( – \sin x ) ] \\
& = – 2 x \cos x + x ^ 2 \sin x
\end{align*}

La seconda è invece:

\begin{align*}
2 [ x \sin x ]’ & = 2 ( \sin x + x \cos x ) \\
& = 2 \sin x + 2 x \cos x
\end{align*}

La terza è immediata perché $ 2 [ \cos x ]’ = – 2 \sin x $, mentre la quarta è nulla in quanto derivata di una costante. Infine:

\begin{align*}
[ – x ^ 2 \cos x + 2 x \sin x + 2 \cos x + c ]’ & = – 2 x \cos x + x ^ 2 \sin x + 2 \sin x + 2 x \cos x – 2 \sin x \\
& = x ^ 2 \sin x
\end{align*}

Conclusione

L‘integrale di $ x $ al quadrato per il seno di $ x $ è

$$
H ( x ) = – x ^ 2 \cos x + 2 x \sin x + 2 \cos x + c \quad , \quad c \in \mathbb{ R }
$$