Integrale di x

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Vediamo come calcolare l’integrale di $ x $, ovvero l’integrale della funzione che ad ogni elemento $ x $ associa $ x $.

Se applichiamo la regola secondo cui

$$
\int x ^ n \, dx = \frac{ x ^ { n + 1 } }{ n + 1 } + c
$$

l’integrale è immediato, infatti posto $ n = 1 $ si ha:

$$
\int x \, dx = \frac{ 1 }{ 2 } x ^ 2 + c
$$

In realtà, questo caso è particolarmente semplice. Ragioniamo come segue: tracciamo la funzione identica, cioè la funzione che a $ x $ associa $ x $. Si vede immediatamente che, poiché l’integrale rappresenta l’area delimitata dal grafico cartesiano e dagli assi cartesiani, tale area è quella di un triangolo avente per base $ x $ e per altezza ancora $ x $ e dunque:

$$
I ( x ) = \frac{ 1 }{ 2 } x ^ 2
$$

Infine, l’integrale di $ x $ è dato da

$$
\int x \, dx = \frac{ 1 }{ 2 } x ^ 2 + c
$$

Conclusione

L’integrale di $ x $ è

$$
\int x \, dx = \frac{ 1 }{ 2 } x ^ 2 + c \quad , \quad c \in \mathbb{ R }
$$