Funzione Generatrice dei Momenti di una Binomiale

Probabilità
Sia $  X \sim Bi ( n , \theta ) $  una variabile aleatoria binomiale. La funzione generatrice dei momenti di $ X $  è \begin{align*} M _ X ( t ) & = \mathbb{ E } \left [ e ^ { k t } \right ] \\ & = \sum_{ k = 0 } ^ n e ^ { k t } \binom{ n }{ k } p ^ k ( 1 - p ) ^ { n - k } \\ & = \sum_{ k = 0 } ^ n \binom{ n }{ k } ( p e ^ t ) ^ k ( 1 - p ) ^ { n - k } \\ & = [ p e ^ t + ( 1 - p )…
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Distribuzione di Weibull

Probabilità
La variabile aleatoria $ X $ ha distribuzione di Weibull se la sua p.d.f. ha la forma: \begin{align*} f ( x \, \vert \, \lambda , k ) = \frac{ k }{ \lambda } \left ( \frac{ x }{ \lambda } \right ) ^ { k - 1 } e ^ { - ( x \, / \, k ) ^ k } \mathbb{ 1 } _ { [ 0 , + \infty ) } \end{align*}
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Distribuzione di Poisson

Probabilità
Una variabile aleatoria discreta $ X \sim Po ( x \, \vert \, \lambda ) $ ha distribuzione di Poisson se la sua p.m.f. ha la forma $$ f _ X ( x ) = \frac{ \lambda ^ x }{ x ! } e ^ { - \lambda } \quad , \quad x \in \mathbb{ N } \quad \lambda > 0 $$
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Distribuzione della Somma di due Gamma

Probabilità
Proposizione. Se $ X \sim \Gamma ( a , \lambda ) $ e $ Y \sim \Gamma ( b , \lambda ) $ sono due variabili aleatorie indipendenti, allora $ X + Y \sim \Gamma ( a + b , \lambda ) $. Dimostrazione. Uno dei metodi per trovare la distribuzione della somma di due variabili aleatorie assolutamente continue e indipendenti, ci viene fornito dal prodotto di convoluzione
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Distribuzione Chi-Quadrato

Probabilità
Una variabile aleatoria $ X $ ha distribuzione Chi Quadrato o Chi-quadro con $ n $ gradi di libertà se la sua densità di probabilità ha la forma $$ f _ X ( x ) = \frac{ x ^ { \frac{ n }{ 2 } - 1 } e ^ { - \frac{ x }{ 2 } } }{ 2 ^ { \frac{ n }{ 2 } } \Gamma \left ( \frac{ n }{ 2 } \right ) } \mathbb{ 1 } _ { [ 0 , + \infty ) } ( x ) $$
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