Esercizio 1, Stimatori

Statistica
Esercizio. Sia $ X _ 1 , X _ 2 , X _ 3 $ un campione estratto da una bernoulliana di parametro $ p $, ( $ 0 < p < 1 $ ). Verificare se lo stimatore $$ T = \frac{ X _ 1 + 4 X _ 2 + X _ 3 }{ 5 } $$
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Teorema di Fattorizzazione

Statistica
Il Teorema di Fattorizzazione (Neyman-Pearson) fornisce un criterio per la caratterizzazione di una statistica sufficiente. Teorema. Sia $ X _ 1 , \ldots , X _ n $ una campione casuale estratto da una densità $ f ( x \, \vert \, \theta ) $. La statistica $ T ( X ) $ è sufficiente se e solo se, per ogni punto campionario $ x \in \mathcal{ X } ^ n $ e per ogni $ \theta \in \Theta $, esistono due funzioni $ g ( T ( x ) \, \vert \, \theta ) $ e $ h ( x ) $ tali che
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Disuguaglianza di Cramér–Rao

Statistica
Sia $ X $ una variabile aleatoria con funzione di densità di probabilità $ f ( x \, \vert \, \theta ) $ tale che la chiusura del supporto non dipenda dal parametro $ \theta $, e sia $ T = t ( X ) $ uno stimatore corretto per $ \tau ( \theta ) $.
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