Potenziale Elettrico

Home / Fisica / Potenziale Elettrico


È noto che un campo stazionario di forze centrali è conservativo. Il lavoro compiuto lungo una curva $ \gamma $ dipende solo dalla posizione iniziale e dalla posizione finale.

Il potenziale elettrico è una funzione scalare che dipende in generale dal vettore posizione $ \vec{ r } $. Vedremo direttamente che, comunque si prenda un percorso $ \gamma $, l’integrale lungo tale percorso dipenderà solo dalla posizione iniziale e dalla posizione finale.

Il campo elettrico generato da una carica $ q $ puntiforme è

$$
\vec{ E } = \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon _ 0 } \frac{ q }{ r ^ 3 } \vec{ r }
$$

Moltiplicando per uno spostamento infinitesimo $ d \vec{ l } $ e integrando lungo $ \gamma $ che porti dalla posizione iniziale $ r _ A $ alla posizione finale $ r _ B $:

\begin{align*}
\int _ { r _ A } ^ { r _ B } \vec{ E } \cdot d \vec{ l } & = \int _ { r _ A } ^ { r _ B } \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon _ 0 } \frac{ q }{ r ^ 3 } \vec{ r } \cdot d \vec{ l } \\
& = \int _ { r _ A } ^ { r _ B } \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon _ 0 } \frac{ q }{ r ^ 3 } r \, dr \\
& = \int _ { r _ A } ^ { r _ B } \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon _ 0 } \frac{ q }{ r ^ 2 } dr \\
& = \frac{ q }{ 4 \pi \epsilon _ 0 } \int _ { r _ A } ^ { r _ B } \frac{ 1 }{ r ^ 2 } dr \\
& = \frac{ q }{ 4 \pi \epsilon _ 0 } \left [ – \frac{ 1 }{ r } \right ] \\
& = \frac{ q }{ 4 \pi \epsilon _ 0 } \left [ \frac{ 1 }{ r _ A } – \frac{ 1 }{ r _ B } \right ]
\end{align*}

Il campo elettrico generato da un punto è conservativo in quanto l’integrale di linea tra due posizioni dipende solo dalle posizioni e non da una particolare traiettoria. Poniamo:

$$
V ( r ) = \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon _ 0 } \frac{ 1 }{ r } + C
$$

dove $ C $ è una costante arbitraria. Con tale scelta,

$$
\int _ { r _ A } ^ { r _ B } \vec{ E } \cdot d \vec{ l } = V ( r _ A ) – V ( r _ B )
$$

La funzione $ V ( r ) $ prende il nome di potenziale elettrico e si misura in Volt (V).

In figura è mostrato un’anello sottile uniformemente carico con densità lineare di carica $ \lambda $ e raggio $ r $ . Calcoliamo potenziale elettrico su un punto generico dell’asse $ z $.

La lunghezza infinitesima $ dl $, esprimibile anche come $ dl = r d \theta $, contiene la carica $ dq = \lambda dl = \lambda r d \theta $. Il potenziale elettrico nel punto $ z $ è dunque:

$$
d V ( z ) = \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon _ 0 } \frac{ \lambda r d \theta }{ \sqrt{ r ^ 2 + z ^ 2 } }
$$

Per calcolare il potenziale dell’anello mostrato in figura bisogna integrale rispetto a $ \theta $:

\begin{align*}
V ( z ) & = \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon _ 0 } \int _ 0 ^ { 2 \pi } \frac{ \lambda r d \theta }{ \sqrt{ r ^ 2 + z ^ 2 } } \\
& = \frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon _ 0 } \frac{ 2 \pi \lambda r }{ \sqrt{ r ^ 2 + z ^ 2 } } \\
& = \frac{ \lambda }{ 2 \epsilon _ 0 } \frac{ r }{ \sqrt{ r ^ 2 + z ^ 2 } }
\end{align*}